Decomponha um número inteiro em fatores primos e obtenha também a quantidade e a soma dos divisores.
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| n | p | n ÷ p |
|---|---|---|
| 360 | 2 | 180 |
| 180 | 2 | 90 |
| 90 | 2 | 45 |
| 45 | 3 | 15 |
| 15 | 3 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 8 · 9 · 10 · 12 · 15 · 18 · 20 · 24 · 30 · 36 · 40 · 45 · 60 · 72 · 90 · 120 · 180 · 360
Introduza um inteiro de 2 a 10¹². A divisão por tentativas começa por 2 e depois testa divisores ímpares até à raiz do valor restante. Exemplo: 360 = 2³ × 3² × 5; Total de divisores = 24; Soma dos divisores = 1170.
Recalculado na geração com a implementação desta página · verificado em 2026-10-22
A contagem de divisores vem dos expoentes, não do tamanho do número. Por isso 720.720 supera 1.000.000.000.000 em divisores sendo menos de um milionésimo do tamanho — e por isso a entrada mais lenta aceita aqui é justamente a que se recusa a se decompor.
| 360 | 2.520 | 5.040 | 720.720 | 10⁹ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Número de divisores | 24 | 48 | 60 | 240 | 100 |
720.720 tem 240 divisores; 10⁹ tem 100, embora seja mil vezes maior. A conta segue a distribuição dos primos — 720.720 carrega seis primos distintos — e não o tamanho do número.
Seis fatores primos, mas só três primos distintos. Os 24 divisores saem de 4 × 3 × 2: some um a cada expoente e multiplique. Essa identidade é o motivo de dar para contar divisores sem listar nenhum, e é o teste mais rápido para conferir qualquer fatoração que você receber.
Só dois primos distintos e, ainda assim, 169 divisores, porque 13 × 13 multiplica dois expoentes grandes. Repare na última linha: a soma passa do dobro do próprio número, já que ele conta como divisor de si mesmo.
Compare com o caso anterior. 720.720 tem menos de um milionésimo do tamanho e ainda carrega mais divisores, porque seus seis primos são os menores disponíveis. Contar divisores premia muitos primos pequenos, não um número grande. É por isso que números altamente compostos sempre se decompõem em 2, 3, 5, 7, 11 e 13, em alguma ordem.
A soma dos divisores é exatamente o dobro do número, e essa é a definição de número perfeito. 8.128 é 2⁶ × (2⁷ − 1), e a forma se generaliza: todo número perfeito par é uma potência de dois multiplicada por um primo de Mersenne. Se alguma soma de divisores parecer implausível, este é o teste mais barato — num perfeito, ela tem de dar 2n.
Reserve uns 28 ms para esta entrada, contra bem menos de um milissegundo para os 10¹² acima: a divisão por tentativa só para quando o divisor passa da raiz quadrada do que ainda falta fatorar. Quando o segundo maior fator é o próprio número, nada encurta o laço. A leitura, porém, é imediata: um primo de doze dígitos, então os únicos divisores são 1 e ele mesmo.
inputError
Um
1 é o produto vazio: não tem fatoração em primos nenhuma. Responder 1 = 1 seria verdadeiro e inútil ao mesmo tempo, então a entrada é recusada.
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Um e meio
Só números inteiros. Arredondar 1,5 para 2 responderia a uma pergunta que ninguém fez. Por isso a fração é recusada em vez de virar o inteiro mais próximo.
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10¹² mais um
O teto é limite de tempo, não de exibição. A divisão por tentativa vai até a raiz quadrada do que resta, então dez vezes a entrada custa umas três vezes a espera. Em 10¹² o pior caso ainda cabe numa fração de segundo.
inputError
Menos seis
Primalidade é definida nos inteiros positivos. O sinal não é descartado em lugar nenhum, então um valor negativo é recusado, e não fatorado em silêncio pelo seu módulo.
Calculator Soup prime factorsverificado em 2026-10-22
Por que fizeram assimA saída começa com a escada de divisões, não com a forma exponencial. Isso cai bem numa página de ensino, onde os passos são a resposta, e explica a lentidão com entradas grandes: cada divisão é impressa.
Contagem e soma de divisores não se leem numa árvore de fatores: saem dos expoentes, e calculá-las é o que torna possível o teste de número perfeito. O teto deles é dez vezes maior; o nosso está onde a divisão por tentativa ainda termina rápido, e a troca é declarada, não escondida.
Digite 720720 e leia os expoentes: 4, 2, 1, 1, 1, 1. Some um a cada e multiplique — 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 240, a contagem exibida. Depois digite 999999999989: a fatoração devolve o número intacto, a contagem cai para 2 e a soma vira o número mais um.
Multipliquei cada fatoração de volta até o número de entrada e conferi as contagens de divisores pela fórmula dos expoentes · impl 7934c399
Estas calculadoras fornecem resultados matemáticos gerais. Servem para estudo, planeamento e estimativa — verifique tudo o que alimente um trabalho avaliado, um dado publicado ou um compromisso financeiro.
Este registro descreve a implementação desta página, sem validação independente. As referências externas sustentam apenas a fórmula ou definição indicada; estimativas e regras próprias mantêm suas premissas.
n = Π p_i^a_i; τ(n) = Π(a_i + 1); σ(n) = Π Σ_{j=0}^{a_i} p_i^j
Usa divisões de tentativa para inteiros de 2 a 1.000.000.000.000: testa primeiro 2 e depois divisores ímpares até à raiz quadrada do valor restante. Fatores grandes podem demorar mais a encontrar.
Introduza um inteiro de 2 a 10¹². Por exemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Siga as divisões e multiplique os fatores para verificar o número original. A lista de divisores positivos inclui números compostos, não apenas primos.
Divisores positivos dividem o número inicial sem resto. Podem ser primos ou compostos e incluem 1 e o próprio número. Para 360 = 2³ × 3² × 5, a quantidade é (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24.