所有人都会先拿它试手
- 质因数分解
- 2^3 × 3^2 × 5
- 质因数个数（含重数）
- 6
- 不同质数的个数
- 3
- 约数个数
- 24
- 约数之和
- 1,170
六个质因数，却只有三个不同的质数；24 个约数等于 4 × 3 × 2——每个指数加一，再相乘。正因为这条恒等式，约数个数不必真的把约数一个个列出来就能得到，它也是拿到任何一份分解后最快的验算手段。
逐步除法
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| n | p | n ÷ p |
|---|---|---|
| 360 | 2 | 180 |
| 180 | 2 | 90 |
| 90 | 2 | 45 |
| 45 | 3 | 15 |
| 15 | 3 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
因数树
正约数 (24)
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 8 · 9 · 10 · 12 · 15 · 18 · 20 · 24 · 30 · 36 · 40 · 45 · 60 · 72 · 90 · 120 · 180 · 360
关于此计算器
输入2至10¹²的整数。试除先从2开始，再依次检查奇数除数，直到剩余值的平方根。 示例: 360 = 2³ × 3² × 5; 约数总个数 = 24; 约数之和 = 1170.
按本站实现于构建时重算 · 核对于 2026-10-22
一万亿有 169 个约数，紧挨着它的那个质数只有两个
约数有多少个，由指数决定，不由数字有多大决定。所以 720,720 的约数比一万亿还多，而它的体量不到后者的百万分之一；也所以本页最慢的一次计算，落在那个怎么也拆不开的数上。
结果怎么变
| 360 | 2,520 | 5,040 | 720,720 | 10⁹ | |
|---|---|---|---|---|---|
| 约数个数 | 24 | 48 | 60 | 240 | 100 |
720,720 有 240 个约数，十亿只有 100 个，可十亿比它大了一千倍。约数个数跟着质数的分布走——720,720 身上有六个互不相同的质数——不跟着数字大小走。
- 169 1,000,000,000,000 的约数个数 只靠 2 和 5，指数各是 12
- 240 720,720 的约数个数 干活的是六个小质数
- 999,999,999,990 质数 999,999,999,989 的约数之和 它本身加一，中间再没有别的
四个数，四种形状
输入范围的天花板
- 质因数分解
- 2^12 × 5^12
- 质因数个数（含重数）
- 24
- 不同质数的个数
- 2
- 约数个数
- 169
- 约数之和
- 2,499,694,822,171
只有两个不同的质数，却有 169 个约数，因为 13 × 13 把两个大指数乘在了一起。注意最后一行：约数之和超过它自己的两倍——它本身也算自己的一个约数。
小得多，约数却更多
- 质因数分解
- 2^4 × 3^2 × 5 × 7 × 11 × 13
- 不同质数的个数
- 6
- 约数个数
- 240
- 约数之和
- 3,249,792
把它和上一张卡片并排看。720,720 不到前者的百万分之一，约数反而更多，因为它凑的是能拿到的最小的那六个质数。约数个数奖励「很多小质数」，不奖励「一个大数字」——所以高合成数的分解里，出现的永远是 2、3、5、7、11、13 的某种排列。
一个摆在明处的完全数
- 质因数分解
- 2^6 × 127
- 约数个数
- 14
- 约数之和
- 16,256
约数之和正好是它自己的两倍，这就是完全数的定义。8,128 等于 2^6 × (2^7 − 1)，这个形状可以推广：偶完全数总是一个 2 的幂乘上一个梅森质数。什么时候觉得约数之和不对劲，这是最省事的一次校验——完全数必须等于 2n。
本页愿意接受的最慢输入
- 质因数分解
- 999999999989
- 质因数个数（含重数）
- 1
- 不同质数的个数
- 1
- 约数个数
- 2
- 约数之和
- 999,999,999,990
这一个大约要 28 毫秒，而上面那个一万亿不到一毫秒：试除法只在「除数超过剩下待分解部分的平方根」时才停。当第二大的因数就是它自己，循环没有任何捷径。答案倒是好读——一个十二位的质数，约数只有 1 和它本身。
哪些输入会被拒绝，上限为什么是时间
-
你输入的
- number
- 1
它给出的inputError一
1 是空乘积，压根没有质因数分解。写成 1 = 1 在技术上成立，在用途上等于零，所以这里直接拒绝。
-
你输入的
- number
- 1.5
它给出的inputError一点五
只收整数。把 1.5 抬成 2，等于回答一个没人问过的问题；小数输入是退回，而不是替你凑到最近的整数。
-
你输入的
- number
- 1000000000001
它给出的inputError一万亿零一
这个上限是时间限制，不是显示限制。试除法要跑到剩余值的平方根，输入大十倍，等待大约长三倍；10¹² 是「最坏情况仍然只花零点几秒」的那条线。
-
你输入的
- number
- -6
它给出的inputError负六
质数只定义在正整数上。符号不会在任何一步被抹掉，所以负数输入是拒绝，而不是悄悄按绝对值分解。
约数那两列背后的约定
- 只有指数形式和展开式，没有因数树
- 结果给两遍：一遍带指数，一遍把每个因数摊开写全。没有树状图，也没有质数序号查询——所以本页不会告诉你 97 是第 25 个质数。
- 约数只算正的，每个只计一次
- 360 有 24 个约数，1 和 360 自己都在里面。负约数不计，这和通行的 d(n) 表一致；否则每个数都会平白翻一倍。
- 两次输入之间什么也不缓存
- 每次输入都从头做一遍试除，不查筛表。同一个数输第二次，花的时间和第一次一模一样；上限的作用，就是让这个承诺有个封顶。
- 约数之和不是真约数之和
- 数字本身也算自己的一个约数，于是和小于它是亏数，正好等于两倍是完全数，大于两倍是盈数。有些教材列的是「真约数之和」，那等于这一列减去这个数本身。
和一个因数树计算器对照
-
Calculator Soup prime factors核对于 2026-10-22
- 对方算法
- 输入上限十万亿，输出因数列表、指数形式、逗号分隔的序列、因数树，以及最大到第一百万个质数的序号。
- 本站算法
- 输入上限一万亿，输出指数形式、展开式、除法步骤、全部正约数的列表，另加约数个数与约数之和。
他们为什么这样设计它的结果以长除法阶梯开头，而不是指数形式。这是给教学页做的取舍：过程本身就是答案；代价是大数很慢，因为每一次除法都要印出来。
约数个数和约数之和没法从因数树上直接读出来——它们由指数决定，而正是把这两个量算出来，才可能做完全数校验。他们的上限高十倍；本页把线画在「试除仍然很快算完」的位置，并且把这个取舍写在明处，而不是藏起来。
输入 720720，把指数读出来：4、2、1、1、1、1。每个加一相乘——5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 240，正是页面上显示的约数个数。再输入 999999999989：分解结果原样返回这个数，约数个数掉到 2，约数之和变成它加一。
把每份质因数分解乘回原数，再用指数公式核对了约数个数 · impl 7934c399
数据来源
免责声明
本计算器提供通用数学结果，适用于学习、规划与估算。若结果将用于评分的作业、公开发表的数据或财务承诺，请另行复核。
本站实现依据
此记录说明本页实际使用的实现，并非独立验证。外部引用仅支持明确注明的公式或定义；估算和自定义规则仍有其自身假设。
公式与变量
n = Π p_i^a_i; τ(n) = Π(a_i + 1); σ(n) = Π Σ_{j=0}^{a_i} p_i^j
- n
- ≥2 的整数
- p_i
- 不同的质因数
- a_i
- p_i 的指数
- τ
- 约数个数
- σ
- 约数之和
试除法：先试 p＝2，再试奇数，p²>m 时停止；剩余的 m>1 即为质数。n<2 时不做分解。
常见问题
质因数分解计算器 — 分解质因数并统计约数 使用什么公式？
公式： n = Π p_i^a_i; τ(n) = Π(a_i + 1); σ(n) = Π Σ_{j=0}^{a_i} p_i^j 逐步除法: n ÷ p; 乘法验证: p₁ × p₂ × … = n. 正约数: d > 0, n mod d = 0.
如何分解质因数并验证结果？
输入2至10¹²之间的整数，例如360 = 2³ × 3² × 5。查看逐步除法，再将质因数相乘验证原数。正约数列表不仅包含质数，也包含合数。