素因数分解計算機 — 約数の個数と総和

結果の動き方

七十二万七百二十の約数は二百四十個、十億は百個。十億のほうが千倍大きいのに、である。個数は素数の散らばり方に従う。七十二万七百二十は六つの異なる素数を抱えている。数字の大きさには従わない。

四つの数、四つの形

何を断るか、上限が時間制限である理由

• 入力値

  number

  1

  出力 inputError

  一

  一は空積で、素因数分解を持たない。一 = 一 と書けば技術的には正しいが、使い道はゼロだ。だから入力として断る。

• 入力値

  number

  1.5

  出力 inputError

  一・五

  整数だけを受け取る。一・五を二に丸めるのは、誰もしていない質問に答えることになる。小数は最も近い整数に寄せるのではなく、そのまま差し戻す。

• 入力値

  number

  1000000000001

  出力 inputError

  一兆と一

  この上限は表示の都合ではなく時間の制限だ。試し割りは残った値の平方根まで走るので、入力を十倍にすると待ち時間はおよそ三倍になる。一兆は、最悪の場合でも一秒の何分の一かに収まる線として選んである。

• 入力値

  number

  -6

  出力 inputError

  マイナス六

  素数は正整数の上で定義される。符号はどこでも落とさない。負の入力は絶対値として黙って分解するのではなく、拒否する。

約数の列の裏にある約束

指数形式と展開式だけで、木はない

結果は二度出る。指数付きで一度、すべての因数を書き並べて一度。樹形図も素数番号の照会もないので、九十七が二十五番目の素数だとは教えてくれない。

約数は正のものだけ、一つずつ数える

三百六十の約数は二十四個で、一も三百六十自身も入る。負の約数は外してある。標準的な d(n) の表と同じ扱いで、そうしなければどの個数も単純に二倍になるだけだ。

二回の入力の間で何も覚えない

入力のたびに試し割りを最初からやり直す。篩表は引かない。同じ数を二度入れても所要時間は一度目と同じで、上限はその約束に天井を与えるためにある。

約数の和は真の約数の和ではない

数自身も自分の約数の一つに数える。和が数より小さければ不足数、ちょうど二倍なら完全数、それを超えれば過剰数だ。真の約数の和を載せている教科書もあり、それはこの列から数そのものを引いた値になる。

因数木の計算機と比べる

• Calculator Soup prime factors2026-10-22 に確認

  相手の方式

  十兆未満を入力に取り、因数の一覧、指数形式、カンマ区切りの数列、因数木、さらに百万番目までの素数について素数番号を出す。

  当サイトの方式

  一兆までを入力に取り、指数形式、展開式、除算の手順、正の約数の全一覧、そして約数の個数と約数の和を出す。

  その設計にした理由結果の先頭に長除法の階段を置き、指数形式は前に出さない。手順そのものが答えになる教材向けの設計だ。その代わり大きな入力は遅い。除算のたびに一行を印字するからである。

  約数の個数と和は因数木からは読み取れない。指数から決まる量で、これを計算することが完全数の検査を可能にする。相手の上限は十倍高い。こちらは試し割りがまだ速く終わる位置に線を引き、その取引を隠さずに書いている。