Zahlenfolgen-Rechner — arithmetisch und geometrisch
Finden Sie das n-te Glied und die Summe einer arithmetischen oder geometrischen Folge.
Formeln und Quellen aktualisiert · Datenquellen · 2Algorithmus, Konstanten und Standardwerte ansehen (JSON)
Über diesen Rechner
Eine arithmetische Folge addiert bei jedem Schritt dieselbe Differenz, eine geometrische multipliziert mit demselben Faktor. Zu erkennen, welche Folge vorliegt, ist der Schlüssel zur Vorhersage der nächsten Glieder.
Rechenbeispiel
berechnet mit den unten stehenden Standardwerten
Erstes Glied 3 · Gemeinsame Differenz oder Verhältnis 4 · Gliednummer (n) 10 · Sequenztyp Arithmetisch (jeden Schritt addieren) n-tes Glied 39,0000 · Summe der ersten n Glieder 210,0000 · Nächstes Semester 43,0000 · Durchschnitt der Reihe 21,0000
Methode und Annahmen
arith: a_k = a₁+(k−1)d, S = k(2a₁+(k−1)d)/2; geom: a_k = a₁r^(k−1), S = a₁(r^k−1)/(r−1) Geometrisch bei r = 1 gilt S = a₁×k; nächstes Glied = a_k+d (arithmetisch) bzw. a_k×r (geometrisch); Mittel = S/k; nicht-endliche Werte werden als zu groß markiert. Eine arithmetische Folge addiert bei jedem Schritt dieselbe Differenz, eine geometrische multipliziert mit demselben Faktor. Zu erkennen, welche Folge vorliegt, ist der Schlüssel zur Vorhersage der nächsten Glieder. Die Quellen erläutern Definitionen und Methoden; zusätzliche Vorgaben müssen mit den Annahmen dieser Seite abgeglichen werden.
Datenquellen
Die Quellen erläutern Definitionen und Methoden; zusätzliche Vorgaben müssen mit den Annahmen dieser Seite abgeglichen werden.
Haftungsausschluss
Diese Rechner liefern allgemeine mathematische Ergebnisse. Sie eignen sich für Studium, Planung und Schätzung — prüfen Sie alles nach, was in eine benotete Arbeit, eine Veröffentlichung oder eine finanzielle Verpflichtung einfließt.
Implementierungsquelle
Dieser Datensatz beschreibt die Implementierung dieser Seite, keine unabhängige Validierung. Externe Quellen stützen nur die angegebene Formel oder Definition; Schätzungen und eigene Regeln behalten ihre Annahmen.
Formel und Variablen
arith: a_k = a₁+(k−1)d, S = k(2a₁+(k−1)d)/2; geom: a_k = a₁r^(k−1), S = a₁(r^k−1)/(r−1)
- a_k
- k-tes Glied
- S
- Summe der ersten k Glieder
- a₁
- erstes Glied
- d
- gemeinsame Differenz
- r
- gemeinsames Verhältnis
- k
- Anzahl Glieder
Geometrisch bei r = 1 gilt S = a₁×k; nächstes Glied = a_k+d (arithmetisch) bzw. a_k×r (geometrisch); Mittel = S/k; nicht-endliche Werte werden als zu groß markiert.
Häufige Fragen
Warum wächst die geometrische Summe schneller als die arithmetische?
In einer geometrischen Folge multipliziert jeder Schritt mit dem Verhältnis, sodass das 10. Glied von 3, 4, … 3 mal 4^9 ist, eine riesige Zahl, während eine arithmetische Folge nur dieselbe Differenz addiert und beim Glied 10 den Wert 39 mit einer Summe von 210 erreicht. Die Formel der geometrischen Summe teilt durch (Verhältnis minus 1), was bei Verhältnis 1 versagt und weshalb das Werkzeug diesen Wert gesondert behandelt.
Welche Eingaben und Grenzen gelten für Zahlenfolgen-Rechner — arithmetisch und geometrisch?
Verwenden Sie die Einheiten neben den Feldern. Dies sind Formulargrenzen, keine empfohlenen Einstellungen. Erstes Glied: -1.000.000.000–1.000.000.000; Gemeinsame Differenz oder Verhältnis: -1.000.000–1.000.000; Gliednummer (n): 1–10.000 arith: a_k = a₁+(k−1)d, S = k(2a₁+(k−1)d)/2; geom: a_k = a₁r^(k−1), S = a₁(r^k−1)/(r−1) Geometrisch bei r = 1 gilt S = a₁×k; nächstes Glied = a_k+d (arithmetisch) bzw. a_k×r (geometrisch); Mittel = S/k; nicht-endliche Werte werden als zu groß markiert. Eine arithmetische Folge addiert bei jedem Schritt dieselbe Differenz, eine geometrische multipliziert mit demselben Faktor. Zu erkennen, welche Folge vorliegt, ist der Schlüssel zur Vorhersage der nächsten Glieder. Die Quellen erläutern Definitionen und Methoden; zusätzliche Vorgaben müssen mit den Annahmen dieser Seite abgeglichen werden.
Wie sieht ein vollständiges Rechenbeispiel für Erstes Glied = 3; Gemeinsame Differenz oder Verhältnis = 4 aus?
Eingaben: Erstes Glied = 3; Gemeinsame Differenz oder Verhältnis = 4; Gliednummer (n) = 10; Sequenztyp = Arithmetisch (jeden Schritt addieren). Berechnung: arith: a_k = a₁+(k−1)d, S = k(2a₁+(k−1)d)/2; geom: a_k = a₁r^(k−1), S = a₁(r^k−1)/(r−1). Ergebnisse: n-tes Glied = 39,0000; Summe der ersten n Glieder = 210,0000; Nächstes Semester = 43,0000; Durchschnitt der Reihe = 21,0000.